Ebbe i natali a Teramo nel luglio del 1749. Compì gli studi prima presso Don Attanasio Tamburrini, poi alle scuole dei Frati Minori Osservanti distinguendosi nelle discipline delle Retorica, Poesia, Filosofia e Scienze. A diciott'anni si reca ad Ascoli Piceno dove diventa allievo di Padre Antonio Francesco Scocciacampana per approfondire gli studi filosofici. Ritorna a Teramo nel 1772 dove la Curia Vescovile lo destina alla Scuola di Scienze e Filosofia. Viene ordinato sacerdote nel 1774 dal vescovo teramano Andrea Sambiase.
Quartapelle fu uno dei maggiori esponenti del movimento culturale e riformista della sua città, che si sviluppò con l'illuminismo, denominato "Rinascenza teramana", corrente di pensiero che cercava di dare una svolta riformista e moderna alla società di fine Settecento ancora ostaggio di retaggi feudali che ne ostacolavano la crescita politica economica e culturale. A questa corrente di pensiero appartennero tra i tanti anche Melchiorre Delfico e Alessio Tulli. Con diversi intellettuali abruzzesi Quartapelle si riuniva presso la farmacia di suo fratello Berardo, incontri che attirarono l'attenzione della polizia e delle autorità ecclesiastiche conservatrici.
I legami con la famiglia Delfico continuarono, nel 1789 Gianbernardino affidò a Quartapelle la guida intellettuale del figlio Orazio, ultimo erede della famiglia, che in seguito si recò all'Università di Pavia dove insegnava Lazzaro Spallanzani, amico del Quartapelle per aver soggiornato a Teramo tra il 1789 e il 1790. Orazio seguì anche le lezioni di Alessandro Volta e Lorenzo Mascheroni accrescendo la propria conoscenza di varie materie come le Scienze, la Fisica, e dopo aver conseguito la laurea tornò nella città natale e creò un laboratorio scientifico avanzatissimo per quei decenni. A causa delle sue idee innovatrici ispirategli dal Quartapelle, nel 1775, con la pubblicazione della sua opera "Indizi di Morale", fu avviata'un inchiesta giudiziaria che riguardò anche Tulli e Delfico e solo grazie alle intercessioni del Marchese Giaconto Dragonetti, all'epoca magistrato a Teramo, le accuse furono archiviate. Ma nel 1798, in seguito ad una denuncia anonima, Quartapelle e Delfico furono nuovamente accusati di vari reati, addirittura il Vescovo della diocesi teramana Pirelli fu severissimo con affermazioni molto gravi e pesanti. A seguito di questi provvedimenti, Quartapelle fu costretto ad andarsene da Teramo, intraprendendo per la prima volta la via dell'esilio a Napoli dove ricevette l'ospitalità dall'avvocato Pasquale Ferrajoli, al quale dedicherà il primo volume della sua opera più significativa "I Principi della vegetazione" edito nel 1801. Grazie all'intercessione di Cristoforo Tabassi fu anche precettore di Don Francesco III Duca di Grottaglie.
Nel dicembre del 1798 l'esercito francese occupò Teramo, fu costituito un nuovo governo nella città con a capo Delfico, che richiamò dall'esilio il suo amico Quartapelle, ma dopo poche settimane la controparte borbonica, nel tentativo di ristabilire il controllo monarchico, assaltò Teramo. La città subì gravi devastazioni, furono bruciate molte abitazioni con conseguenti saccheggi, numerose collezioni private di libri andarono perdute a causa di questi atti, andò a fuoco anche la casa-laboratorio di suo fratello Bernardo. Egli si salvò a stento, nuovamente prese la via dell'esilio. Si rifugiò prima ad Ancona dove dimorò per tutto il 1799, poi a Montedinove nell'ascolano. Ristabilito dai francesi l'ordine a Teramo vi tornò nell'estate del 1800. Negli ultimi anni della sua vita continuò imperterrito a scrivere e pubblicare le sue opere spegnendosi nel marzo del 1804.
Dell'Abate Quartapelle vanno necessariamente menzionate "Gli Elementi di logica e psicologia dietro la scorta dei più illustri metafisici" edito nel 1787, e la "Memoria per la società patriottica di Teramo sulla maniera di preparare e seminare il grano" del 1796.