Nasce nel settembre del 1913. Originario di Castignano, frequenta il Seminario vescovile di Montalto ed in seguito il seminario Regionale di Fano. Ordinato sacerdote nel 1936, torna nel Piceno dove ottiene l'incarico di insegnante nel Seminario di Montalto, dove aveva studiato; dopo il 1946 ne diventa rettore fino al 1962 e Cappellano Militare dal 1940 al 1945 in Jugoslavia, nel VI Corpo d'Armata. Nell'armistizio del settembre 1943 subisce la deportazione in Polonia nei lager nazisti di Tornapol e Benianowo, poi in Germania a Sandbostel e Witzendorf. Dopo la fine del conflitto torna in Italia, nel marzo 1946, e si trasferisce a Roma dove all'Università consegue la laurea in Lettere. Dal 1962 al 1967 Amadio è Cancelliere vescovile della diocesi di Montalto, mentre nel 1963 viene nominato Monsignore da Paolo VI. Nel 1967 ottiene l'elezione a Vescovo titolare di Forconio e ausiliare di Valva e Sulmona in Abruzzo, cinque anni dopo, nel 1972, anche la titolarità di Sulmona. Nel 1980 papa Giovanni Paolo II affida a Francesco Amadio il ministero pastorale della città di Rieti, carica che manterrà fino al 1989. Nel 1990 si ritirerà a Montalto delle Marche, si spegne ad Ascoli Piceno nel luglio del 2000.