Claudio nasce ad Atri nel 1543; suo padre era Giannantonio Donato d'Acquaviva, il IX Duca d'Atri. Studiò all'Università di Perugia, dove si laureò in Legge. Divenuto sacerdote, entrò grazie alle sue virtù alla corte pontificia come Camerlengo di Papa Pio V; fu amico di San Francesco Borgia. Claudio entra presto a far parte dell'Ordine dei Gesuiti, nel 1547 e, possedendo doti fuori dal comune, approfondì anche altri studi, distinguendosi in Filosofia e Teologia. Fu Superiore Provinciale, prima a Napoli e infine a Roma. Nella Quarta Congregazione Generale fu eletto nel 1581 in sostituzione di Everardo Mercuriano come Preposito Generale della Compagnia di Gesù, chiamato anche il "papa nero", ovvero la massima carica dell'ordine; fu il più giovane ad aver ottenuto questo incarico. Quello dell'Acquaviva fu il più lungo "generalato" della storia dei Gesuiti con un incremento massiccio di religiosi, che passarono da 5000 a oltre 13000. Sotto la sua giuda il prestigio dell'ordine aumentò in modo esponenziale, sia presso le principali corti cattoliche d'Europa, sia nei ceti più umili. Fu dato un attento impulso all'attività missionaria sia in Europa che nelle nuove terre, scoperte specialmente nel continente sud-americano e anche in Asia, specificatamente in Cina, India, Filippine e Giappone. Sotto la sua regia teologica terminò la "Ratio Studiorum", documento che stabilisce l'insieme delle regole pedagogiche e didattiche dei collegi dei Gesuiti. Morì nel gennaio del 1615.