Viene al mondo nel gennaio del 1618 da una famiglia amandolese, censita fin dal Trecento.
Non si hanno notizie sugli studi compiuti in giovinezza, è probabile che siano avvenuti nella città di Fermo, nel 1635 entra in convento dai monaci domenicani e tre anni dopo si trova a Piacenza, in qualità di Suddiacono dell'Ordine. Nel 1646 viene eletto dal Consiglio Comunale di Amandola quale predicatore ma nel 1648 lo troviamo nel convento domenicano di Cagli, nel pesarese, dove è Lettore e Priore. Dal 1650 compie una rapida ascesa nei ranghi dell'ordine, diventa quindi Vicario Generale dell'Inquisizione a Mantova, città dove trascorrerà la maggior parte della sua vita, ulteriori notizie lo indicano come inquisitore in Lombardia, prima a Crema ed infine a Brescia.
L'imperatrice Eleonora d'Austria sua estimatrice lo "raccomanda" ad alti prelati e diventa ministro del Duca di Mantova: Ferdinando Carlo Gonzaga-Nevers. Papa Alessandro VII gli conferisce anche la facoltà di giudicare su cause criminali e di ordinare anche le esecuzioni capitali, potere che poteva essere assegnato in quanto appartenente al Consiglio di stato del Duca di Mantova. Lo storico locale don Pietro Ferranti, menziona anche un suo viaggio a Vienna nel 1672, accompagnato dal compaesano Don Orazio Gallo. L'apice della carriera religiosa e politica fu quando, dietro l'insistenza dell'Imperatrice Eleonora e del Duca mantovano, diviene Abate della chiesa palatina di Santa Barbara, fatta erigere tra il 1562-1572 dal duca Guglielmo Gonzaga.
Sarà ricordato per il suo viaggio effettuato alla volta di Parigi, allo scopo di giustificare il comportamento del Duca di Mantova nei confronti di Luigi XIV, all'epoca il regnante più potente d'Europa, in relazione allo scandalo suscitato dalla divulgazione di un trattato segreto, tra il Gonzaga e il Re, per la vendita della piazzaforte di Casale Monferrato. La cittadina era appartenuta ai Marchesi di Monferrato dal 1319 al 1533, poi passata ai mantovani, Il regno di Francia possedeva invece la vicina Pinerolo, aveva quindi interessi ad accaparrarsi una cittadella strategica di Casale. Da li avrebbe controllato tutto il Piemonte e le importanti vie di comunicazione tra Genova e la Lombardia, possedimento spagnolo. Fu una missione estremamente delicata per il Righi, doveva dimostrare l'innocenza del Duca di Mantova riguardo alle accuse di corruzione e all'estraneità della vendita di Casale. La partenza avvenne nel settembre del 1679, con al seguito diversi servitori, l'arrivo nella capitale francese fu dopo circa trenta giorni di viaggio, con diversi imprevisti sia in Italia che in Francia; rendiconta con molta precisione ogni spesa effettuata insieme ai suoi collaboratori. Nel corso del suo soggiorno visita la fortezza della Bastiglia, il castello del Louvre, la reggia di Versailles ed il palazzo del Duca di Orleans, ebbe numerosi colloqui con il ministro degli Esteri di Luigi XIV, il Marchese di Pomponne Simon Arnauld, poi con il Marchese di Louvois Michel Le Terrier, e con Charles Colbert suo successore come Segretario di Stato.
Seguirono mesi interminabili di trattative con gli ambasciatori di Spagna e della Repubblica di Venezia che chiesero al Righi, come rappresentante del ducato di Mantova, di rendere noto a tutti del negoziato con i francesi, in quanto la segretezza giovava solo a Luigi XIV e non agli altri stati. Finalmente nel giugno del 1680 a Fontaineblueau, Righi si congeda da Luigi XIV, poiché la sua posizione era divenuta fragile, dopo la sua partenza Colbert conclude un nuovo trattato con il Gonzaga, escludendolo a causa delle sue simpatie per l'Austria, attraverso l'Imperatrice Eleonora. Il trattato in effetti fu stipulato nel luglio del 1681 e ricalcava in tutto quello precedente.
Tornato in Lombardia, rimase sempre un valido collaboratore della corte mantovana, dove si spegnerà nel settembre del 1690.