Ebbe i natali ad Acquaviva il 20 Aprile del 1850.
Si trasferì a Bologna dove si diplomò. Gli studi accademici li intraprese presso la prestigiosa università Normale di Pisa dal 1870 al 1874.
Fu allievo dello storico e politico napoletano Pasquale Villari, che lo formò nel suo percorso dedicato alla storiografia tedesca.
Nel 1876 si recò a Lipsia e a Berlino dove perfezionò i suoi studi. Tornò in Italia e insegnò prima a Sassari, poi a Palermo ed infine a Roma. Nel 1885 vinse il concorso per la Cattedra di storia moderna alla Normale di Pisa dove si era laureato: qui rimase fino al 1909 e dove contraddistinse il suo insegnamento con una metodologia di chiaro stampo positivistico, molto attenta alle fonti e ai documenti.
Negli anni seguenti curò i numeri della rivista “Studi Storici” insieme ad altri importanti esponenti di formazione universitaria, rivista che divenne una fondamentale fucina per la formazione delle giovani generazione di storici italiani. Proprio grazie a questa iniziativa editoriale furono pubblicati i primi lavori dei suoi allievi come Gioacchino Volpe, Gaetano Salvemini, Pietro Silva e Giovanni Gentile, tutti personaggi che, nonostante e grazie alle loro opinioni politiche molto diverse, contrassegnarono, nel corso dei decenni successivi, la storia culturale e la metodologia scolastica italiana.
Il Crivellucci appariva come una figura di statura letteraria e storica importantissima e fondamentale. I suoi allievi lo chiamavano affettuosamente il "longobardo", per il suo aspetto fisico e per gli argomenti storici quasi abituali che riguardavano i suoi corsi.
Nel 1895 sposò una sua allieva di origine tedesca, Lidia von Burst, e mantenne sempre un legame stretto con la sua terra, tanto da recarvisi sempre in vacanza nel periodo estivo.
Nei primi anni del 1900 curò la pubblicazione dell'Annuario bibliografico della storia d'Italia, di cui uscirono ben otto volumi.
Terminata l'esperienza toscana, nel 1910 si trasferì a Roma dove fu preside della facoltà di Lettere fino al 1913.
Da sempre liberale, pubblicò molte opere che spaziavano dal governo popolare fiorentino del XV XVI secolo, alla storia delle relazioni tra stato e la chiesa.
Allo scoppio del primo conflitto mondiale fece domanda per essere richiamato alle armi, ma morì nello stesso anno.